Función antisimétrica
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Esta gráfica es la de la curva y=x4-3 x2+1. Si sustituyes x por -x el resultado es y=-x4-3-x2+1=x4-3 x2+1, lo que demuestra matemáticamente que esta gráfica es simétrica respecto al eje y.
Esta es la gráfica de la curva y&igual;x3-2 x. Si sustituimos x por-x e y por -y el resultado es -y&igual;-x3-2 -x&igual;-x3-2 x, que al multiplicar ambos lados por -1 da y&igual;x3-2 x, la ecuación original. Esto demuestra matemáticamente que esta gráfica es simétrica respecto al origen.
Explora los conceptos de simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen utilizando esta demostración interactiva. Selecciona un tipo de simetría utilizando los botones de radio debajo de la gráfica. Haciendo clic y arrastrando en la ventana de la gráfica de abajo puedes crear una gráfica que muestre esa simetría. Borra la gráfica haciendo clic en ella.
Función de reflexión
Gráfico simétrico¿Qué es la simetría? Mirando la imagen de abajo, se puede observar que la mariposa parece igual en ambos lados, es decir, es idéntica en ambos lados. Por lo tanto, las imágenes simétricas son aquellas que se pueden dividir en dos partes iguales.
Como se ve en la imagen, la línea divide a la mariposa en dos partes iguales, que se dice que son simétricas a ambos lados de esa línea. Del mismo modo, un gráfico es simétrico si permanece intacto cuando se refleja en una línea. Las ideas de simetría y de línea de simetría son significativas en este contexto. Estas gráficas se denominan gráficas simétricas. Ejemplo: Consideremos la gráfica {eq}y=sec^2x {/eq} de abajo, que es una gráfica simétrica que permanece intacta cuando se refleja a través de una línea.
Aquí, la gráfica no es simétrica. Como resultado, la simetría puede describirse como una inversión de una línea o una forma a través de la línea de simetría. ¿Qué es la simetría del eje X y del eje Y? En el plano de coordenadas, el eje X es la línea horizontal y el eje Y es la línea vertical. Simetría del eje XUna gráfica es simétrica a lo largo del eje X si contiene dos puntos (x, y) y (x, -y) tales que f (x, y) = f (x, -y). Por lo tanto, la función puede clasificarse como par. Es decir, sustituyendo, -y por y, obteniendo el mismo resultado que f (x, y). 1) Ejemplos de gráficos simétricos y no simétricos en el eje X:
Cómo encontrar la simetría de una función polinómica
La simetría es un concepto más geométrico que algebraico pero, como se ha mencionado en las dos páginas anteriores, el tema de la simetría aparece en un par de contextos algebraicos. Cuando grafiques cuadráticas, es posible que te pregunten por el eje de simetría de la parábola. Normalmente se trata de la recta vertical x = h, donde “h” es la coordenada x del vértice, (h, k). Es decir, el eje de simetría de una parábola suele ser la recta vertical que pasa por su vértice. El otro contexto habitual de la simetría es juzgar a partir de una gráfica si una función es par o impar.
Por otro lado, una función puede ser simétrica respecto a una recta vertical o respecto a un punto. En particular, una función que es simétrica respecto al eje y es también una función “par”, y una función que es simétrica respecto al origen es también una función “impar”. Debido a esta correspondencia entre la simetría de la gráfica y la paridad o imparidad de la función, la “simetría” en álgebra suele aplicarse al eje y y al origen.
Prueba de simetría
Hay tipos especiales de funciones que tienen simetría gráfica. Los tipos más notables son las funciones pares e impares. Las funciones pares tienen simetría gráfica a través del eje y, y si se reflejan, nos darán la misma función. Las funciones impares tienen simetría gráfica rotacional 180, si se giran 180 sobre el origen obtendremos la misma función. Hay formas algebraicas de calcular si una función es par o impar.
Quiero hablar de las funciones pares e impares. Primero la definición. Una función f es par si f de -x es igual a f de x para todo x en el dominio de f. Eso significa que puedes cambiar x por -x y obtener el mismo valor. Ahora bien, ¿qué tipo de simetría nos da eso? Bueno la gráfica de una función par siempre va a ser simétrica con respecto al eje y. Bueno, si recuerdas nuestra discusión de la simetría, de las reflexiones, la gráfica de y es igual a f de -x. y es igual a f de -x es una reflexión sobre el eje y, si la reflexión sobre el eje y de una función es exactamente la misma que la función misma entonces es simétrica sobre el eje y. Ahora veamos dos ejemplos de nuestras funciones madre. Hay y=x al cuadrado y hay y es igual al valor absoluto de x.Ahora las funciones impares. La función f es impar si f de -x es igual al opuesto de f de x. Esto significa que entradas opuestas dan salidas opuestas. Ahora, si esto es cierto, la gráfica de una función impar sería simétrica con respecto al origen. Esto significa que puedes tomar la gráfica, rotarla 180 grados y se verá exactamente igual. Así que es una simetría de 180 grados con respecto al origen. Ahora algunos ejemplos de nuestras funciones madre son y=x, y es igual a x al cubo y también y es igual a 1 sobre x.Así que recuerda las funciones impares: entradas opuestas tienen salidas opuestas. Funciones pares: entradas opuestas tienen la misma entrada. Las funciones pares son simétricas respecto al eje y, las funciones impares son simétricas respecto al origen.