Significado de la derivabilidad
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Los primeros ejemplos de funciones continuas en toda la recta real pero que no tienen derivada finita en ningún punto fueron construidos por B. Bolzano en 1830 (publicados en 1930) y por K. Weierstrass en 1860 (publicados en 1872). La función de Weierstrass es la suma de las series
Para las funciones de más de una variable, la diferenciabilidad en un punto no es equivalente a la existencia de las derivadas parciales en el punto; hay ejemplos de funciones no diferenciables que tienen derivadas parciales. Por ejemplo, la función
Espacio de funciones diferenciables
En el apartado 1.2, aprendimos cómo se puede utilizar el concepto de límites para estudiar la tendencia de una función cerca de un valor de entrada fijo. Al estudiar dichas tendencias, nos interesa fundamentalmente saber cómo se comporta la función en el punto dado, digamos \(x = a\). En la presente sección, pretendemos ampliar nuestra perspectiva y desarrollar un lenguaje y una comprensión para cuantificar cómo actúa la función y cómo cambia su valor cerca de un punto determinado. Además de pensar en si la función tiene o no un límite \(L\) en \(x = a\), también consideraremos el valor de la función \(f (a)\) y cómo este valor está relacionado con \(lim_{x→a} f (x)\), así como si la función tiene o no una derivada \(f ‘(a)\) en el punto de interés. A lo largo de este trabajo, nos basaremos y formalizaremos ideas que hemos encontrado en varios escenarios.
Una función \(f\) definida en \(-4 < x < 4\) viene dada por la gráfica de la figura 1.7.1. Utiliza la gráfica para responder a cada una de las siguientes preguntas. Nota: a la derecha de \(x = 2\), la gráfica de \(f\) exhibe un comportamiento oscilatorio infinito, similar a la función \(\sin( \frac{π}{ x })\) que encontramos en el ejemplo clave al principio de la sección 1.2.
Dos veces continuamente diferenciable
Hola. Tengo que resolver este problema en el que estoy un poco confundido. Así que f(x) es una función a trozos dondef(x) ={(sin(x2 )) / x si x > 0{x2 – 2x si x ≤ 0Ok así que la función es continua en su dominio pero si calculamos el límite cuando x se acerca a 0 por la izquierda y por la derecha el valor es 0. Bien. Pero f(0) = x2 – 2x. Así que aquí es donde estoy confundido. ¿Debo dejar la función tal y como está ya que x2 – 2x = 0 o debo resolver para x? Además, ¿cómo estudio la derivabilidad de esta función a trozos? Gracias.1 comentarioscompartirinformar100% votadosEntrar o registrarse para dejar un comentarioEntrarRegistrarseOrganizar por: mejor
Continua y diferenciable
¿Existe alguna razón particular por la que, para una función definida a trozos, para el estudio de la continuidad/derivabilidad debamos utilizar la definición en los distintos puntos donde la función está definida a trozos y no podamos utilizar, en el caso de la derivabilidad, las reglas de derivación en lugar del límite del cociente de la diferencia?
¿Hay alguna razón particular por la que, para una función definida a trozos, para el estudio de la continuidad/derivabilidad debamos utilizar la definición en los distintos puntos donde la función está definida a trozos y no podamos utilizar, en el caso de la derivabilidad, las reglas de derivación en lugar del límite del cociente de diferencias?
En serio, si alguien te dice que debes usar la definición de derivada en lugar del método del cociente de la diferencia deberías hacerle esta pregunta. NO tienes que usar la definición de derivada para encontrar f'(x) para cualquier punto.
Ahora bien, para determinar si f'(x) existe en x=0 y x=1 primero tienes que determinar si la función es continua en estos puntos y luego puedes mirar las derivadas. Si f(x) no es continua en uno o ambos puntos, entonces no hay derivada en ese (esos) punto(s) de discontinuidad.